! Das Earthdawn 2 Stufensystem

__Das Das>> Stufensystem von Earthdawn ist erstaunlich gut gewählt. Tatsächlich entspricht die Stufe ungefähr dem Durchschnittswert, den man mit den Stufen-Würfeln <<erreicht, und die Würfe sind mit steigender Stufe normalverteilt.__ erreicht.>>

Weil die Würfel in Earthdawn explodieren (d.h. man darf weiterwürfeln, wenn sie auf die höchste Zahl fallen), ist der Durchschnittswurf eines einzelnen Würfels immer etwas höher als der Mittelwert aller Würfelseiten. Die größte Abweichung nach oben haben dabei ganz kleine Stufen, also der einzelne W4. Der kleine hat's drauf ;-)

|| Stufe || Würfel || Durschnittswurf
| 3 | W4 | 3,3333
| 4 | W6 | 4,2
| 5 | W8 | 5,1429
| 6 | W10 | 6,1111
| 7 | W12 | 7,0909
| (11*) | W20 | 11,0526

Um eine Stufe, bzw. den durchschnittlichen Wert, den man mit den Würfeln erzielen kann, zu errechnen, nimmt man die höchste Augenzahl des Würfels, teilt diese durch 2 und addiert anschließend 1. 1W6 z.B.: 6/2+1= (Stufe) 4.

(*) Stufe 11 könnte man als einzelnen W20 ausdrücken, nach der offiziellen Tabelle ist es aber 1W10,1W8, was sogar eine schlechtere Abweichung vom Mittelwert hat (11,25 statt 11,05). Warum macht man das dann überhaupt?

Neben dem Durchschnittswurf spielt auch das Verteilungsmuster eine sehr wichtige Rolle. Für einen einzelnen Würfel gilt, <<dass das>> jede Zahl gleich wahrscheinlich ist - bis auf das Weiterwürfeln, denn dann nimmt die Wahrscheinlichkeit jedes Mal schlagartig ab. Für einen W6 ergibt sich z.B. folgendes Bild:

[w6.png]

<<''Jede Zeile steht dabei für eine Zahl, die man mit seinem Wurf erreichen kann, und der grüne Balken gibt an, wie wahrscheinlich es ist, diese Zahl zu erreichen.''

>> Für Stufen mit mehreren Würfeln kann der Durchschnittswurf grob errechnet werden, indem man die Durchschnittswürfe der Einzelwürfel aufaddiert. Allerdings ist das nicht ganz exakt, weil man es mit Kombinationen diskreter Werte zu tun hat und nicht mit kontinuierlichen Funktionen. Im folgenden Beispiel - Stufe 11 mit W10,W8 - sieht man das am Knick unterhalb des Maximums:

[w10w8.png]

Hier wird dann auch klar, warum man Stufe 11 als <<W10,W8 W20,W8>> und nicht als W20 würfelt - die Verteilung der Würfe entspricht dann mehr einer schönen glatten [Glockenkurve|https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung]. Die meisten Würfe entsprechen dann ungefähr der Stufe, während man bei einem einzelnen Würfel viel häufiger auch mieserabel kleine Zahlen würfelt. Je mehr Würfel man hat, je höher also die Stufe, desto idealer die Verteilung, wie man gut bei Stufe 30 (1W20,1W10,1W8,2W6) sieht:

[step30.png]

Für alle Stufen gilt: Die Abweichungen des Durchschnittswurfes zur Stufe bleiben immer im Bereich ±⅓, und je höher die Stufe, desto wahrscheinlicher ist es, ungefähr die Stufe zu würfeln.

<<!Der Fluch der kleinen Stufen

Hier zeigt sich direkt ein großes Problem im Earthdawnsystem, das gerade bei den beliebten Attributsproben gnadenlos zuschlägt, welche besonders zufallsfetischistische Meister gerne und oft rollen lassen. Im folgenden Diagramm sieht man zu jeder Stufe von 3 bis 10 die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert zu treffen (diesmal liegend):

[Einzelwahrscheinlichkeit.png]

Dabei fällt auf, dass es bis Stufe 7 (W12) genauso wahrscheinlich ist, eine 1 zu würfeln __wie jede andere Zahl des Würfels__. Ganz anders ab Stufe 8, wo zum ersten Mal mit 2 Würfeln gewürfelt werden kann - hier ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder eine andere kleine Zahl zu würfeln, extrem viel geringer als ungefähr eine Zahl um die Stufe herum zu treffen. Es ist demnach sehr wahrscheinlich, mit einer kleinen Stufe zu versagen, und das gilt folglich für fast alle Attributsproben. Gerade wenn man ein Attribut recht hoch hat, aber eben noch nicht in der rettenden Stufe 8, muss man mit vielen Patzern leben, die eigentlich sehr unlogisch sind - denn warum sollte ein heldenhaft starker Charakter der Stufe 7 ähnlich oft bei einer Stärkeprobe versagen wie ein Pimpf, aber ein nur einen Attributspunkt stärkerer Charakter mit Stufe 8 kaum noch patzen? Zumindest als Master sollte man sich das vor Augen führen und entsprechend weniger Attributsproben verlangen, und wenn es denn sein muss, dann doch wenigstens vorsichtiger mit der Interpretation solcher Proben umgehen, besonders was den krassen Sprung zwischen Stufe 7 auf 8 angeht.

>> !Stufentabelle und Mindestwürfe bis Stufe 350

Bleibt die Frage, wie die Stufen denn nun genau auf die Würfel zugeordnet wurden. Man kann schließlich immer mehrere Kombinationen von Würfeln finden, die ungefähr der Stufe entsprechen. Tatsächlich ist die Zuordnung in Earthdawn manchmal nicht ideal, wenn man voraussetzt, dass man möglichst genau die Stufe treffen möchte. Allerdings gibt es ja noch eine andere wichtige Eigenschaften des Stufensystems - zum einen möchte man möglichst eine Normalverteilung, zum anderen aber auch mit möglichst wenigen Würfeln auskommen, denn was nützt es schließlich, wenn man die Stufe mit <<18W4 13W4>> exakt und mit einer wunderschön glatten Glockenkurve trifft, aber kein Mensch so viele W4 hat, und selbst wenn (echt?), dann bestimmt nicht gewillt ist, die alle zu würfeln. Entsprechend muss man eine Abwägung treffen. Für Earthdawn 2 gibt es offizielle Stufentabellen bis Stufe 150 (englischer Gamemaster Schirm). Aber man kann natürlich alles übertreiben, und so - tada - präsentiere ich hier die Stufentabelle und Mindestwürfe bis hin zur __absurd hohen Stufe 350__ (= 14W20,14W12,14W10,2W8 ... den Würfelbecher möcht ich' sehen, bitte um Screenshots!):

[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pXU-ZbDvegyCAfH4T_QRepXRpr8SYrGHHIHbMPRyj4g/pubhtml#]

Ab etwa Stufe 43 entsprechen die Tabellen nicht mehr 100% der "offiziellen" ED-2 Tabelle, die Abweichungen sind aber gering. Das ist kein Nachteil, sondern bewusst so gewählt. Die Tabelle habe ich mit einem kleinen Javascript-Programm berechnet und benötigt pro Stufe weniger Würfel als die "offizielle" Tabelle (großer Vorteil) und trifft dabei den Durchschnittswert ziemlich exakt: die Abweichung des Mittelwertes von der Stufe ist niemals größer als 0,3!

Wenn man aber zufällig diese Tabelle nicht zur Hand hat und mal in die Verlegenheit kommt, Stufe 200 zu würfeln (Bergschatten aufgepowert in seinem Hort auf Steroiden? Oder der echte Verjiogorm, also nicht dieser lachhafte Abklatsch im Grundbuch), dann kann man alternativ 4 Mal Stufe 50 oder 10 Mal Stufe 20 würfeln und ist damit immer noch ziemlich genau bei der Stufe (Abweichung maximal ±1 bis <<±3), entsprechend kann man mit allen Stufen verfahren. ±3).>>

-- [Sebastian]

! Wahrscheinlichkeit der Erfolgsgrade

Die folgende Tabelle gibt die gemittelte Wahrscheinlichkeit über alle Stufen an, mit einer gegebenen Stufe einen Erfolgsgrad zu erreichen:

<<||Schlecht >> ||Mindestwurf || << Schlecht|| >> Gut || Hervorragend || <<Außergewöhnlich Aussergewöhnlich>>
| <<88% 0,47>> | <<47% 0,88>> | <<11% 0,11>> | <<4% 0,04>> | <<1% 0,01>>

! Mathematik

Wie berechnet man die exakte Wahrscheinlichkeit, mit Stufe x Wert y zu erreichen? Das ist überraschend schwer, da die Würfel in Earthdawn "explodieren", also beim höchsten Wurf nochmal gewürfelt werden und deshalb beliebig große Werte erreichen können. Eine <<einzelne >> exakte, berechenbare Formel ist <<bisher daher>> nur für Stufen mit nur einem Würfel bekannt, und leider steigt der Rechenaufwand mit größeren Würfelbechern stark an. Mit dem Troll-Würfel-Onlinetool lassen sich aber sogar noch bis zur Stufe 350 recht genaue Wahrscheinlichkeiten berechnen. Näheres findet sich in folgenden Links:

;[http://www.diku.dk/~torbenm/Troll/]: (english) Eine Würfel-Programmiersprache, eingehende theoretische Arbeit dazu und und ein Onlinetool zur Berechnung so ziemlich jeder Würfelwahrscheinlichkeit eines jeden noch so abgedrehten Rollenspielsystems
;[http://www.mediafire.com/view/11pi8i998cjh0rc/earthawndice.pdf]: (english) Herleitung und beispielhaft die Formeln bis Stufe 12. Falls man kein Mathematica hat, kann man die Formeln hier ausprobieren und dann evtl. besser verstehen: [http://www.mathics.net]
;[beweis-ed-stufen.pdf]: (deutsch) Mathematischer Beweis, dass die Stufen den Durchschnittswürfen entsprechen
;[http://vfu.bg/en/e-Learning/Math--Bertsekas_Tsitsiklis_Introduction_to_probability.pdf]: (english) Allgemeine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

<<\\\ ! Disziplinenvergleichsrechner>>
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''Zum Folgendes>> <<''"Der interaktive>> <<Fluch Tool>> <<der zeigt>> <<kleinen Stufen"'': Ich vermute, es ist bewusst so gewählt. Der enorme Sprung zwischen Stufe 7 und 8 soll einfach zeigen, dass man sich von normalen Duptis abgehoben hat. Auch wenn man als Kreis 1 Adept schon etwas besonderes ist, so ist man nicht mit einem magisch auf gepowerten Körper geboren, sondern versteht (nur) die Magie für gewisse Talente zu nutzen. Sobald man aber voranschreitet (Kreise aufsteigt) und somit Attributssteigerungen vornimmt, erreicht man auch recht schnell Stufe 8 in >> den <<(für durschnittlichen>> <<einen Schaden,>> <<selbst) wichtigen Attributen. Und natürlich soll nicht jede Disziplin in allem gut sein. Brauchst du jemanden, der einen schweren Stein anhebt, ist der Krieger gegenüber dem Magier wohl die bessere Wahl (außer dieser hat bereits levitieren gelernt natürlich^^).\\
Außerdem hat man auch (fast) immer die Möglichkeit Fertigkeiten zu lernen, wenn gewisse Proben häufiger vorkommen, oder man hilft sich durch Gegenstände weiter. Spielen viele Abenteuer in >> den <<Bergen einige>> <<oder Standarddisziplinen>> <<hat pro>> <<man einen "feigen" Schützen, der gerne von erhöhter Position aus schießt, lernt man eben Klettern, anstatt immer Geschicklichkeitsproben zu machen. Der Elementarist hat bereits im ersten >> Kreis <<[Kletterschub], ein Seil erleichtert das Klettern auch um 4 und und und.\\\
Andere Spielsysteme haben hingegen für jede einzelne nur erdenkliche Fertigkeit einen eigenen Eintrag auf dem Charakterbogen, welche mit + aber auch - Werten versehen sind. Da finde ich die Wahl, welche Earthdawn getroffen hat, deutlich besser: Genauso wie in anderen Spielsystemen, wo es mehr oder minder ein Glücksspiel ist, eine Probe zu bestehen, welche einem Abzüge / - gibt, ist es auch in Earthdawn nicht leicht, eine solche Probe zu bestehen, insofern man nicht darin trainiert ist.'' --[Belenus]\\\
\\
''Sieht für mich eher nach einem Kompromiss aus, weniger nach bewusst so gewählt. Man wollte die kleinste Stufe vermutlich nicht bei 2W6 anfangen lassen, sondern die Würfel einzeln nutzen. Es geht ja nicht darum, etwas schlechter zu sein - das wird über den Durchschnittswertabert bereits abgebildet. Es geht um einen Wechsel in der Wahrscheinlichkeitsverteilung, von gleichverteilt hin zu normalverteilt. Die Normalverteilung ist wesentlich natürlicher, was Patzer angeht. Und ich würde mal unterstellen, dass man bei der Wahl des Stufensystems nicht alles bedacht hat - siehe W20W4. Ich finde auch nicht, dass man so schnell in diese Stufen kommt, nur mit Attributssteigerungen. Bei meinem aktuellen Charakter komme ich erst in Kreis 7 dahin, mein wichtigstes Attribut in Stufe 8 zu haben. Klar, die Stufen erreicht man mit Talenten oder Fertigkeiten viel eher. Ging ja auch um reine Attributsproben. Ist halt ein Hinweis auf ein Problem im Stufensystem. Ansonsten bin ich ganz bei Dir: Das Stufensystem finde ich grundsätzlich gut.'' -- [Sebastian]\\
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''Mich hat die Frage beschäftigt, was für einen Würfel man bräuchte, wenn man eine möglichst optimale Normalverteilung haben möchte. Wahrscheinlichkeitsrechnung geht normalerweise leicht über meine Kenntnisse, aber durch Versuch und Fehler war ich letztlich in der Lage:
Bei einem W4 mit den Seiten 0,6/0,7/0,8/0,9 konvergiert der Erwartungswurf >> gegen <<0,9999999... usw. Falls man also >> einen <<echten gegebenen>> <<Zufallsgenerator Einzelgegner>> <<hat und damit beliebige Stufe mit der gleichen Anzahl solcher Würfel simuliert, erhält man eine nahezu optimale Normalverteilung. Ich frage mich nur, ob es ein derartiges Optimum auch für W6, W8, W10 und so weiter gibt. Obwohl es sein kann, dass die Intervalle noch unfreundlicher werden.''\\ erreichen:>>
<<--[THEINFERNALVerjigorm]\\ >>
<<\\ [http://www.earthdawn-wiki.de/files/DisziplinVergleich/index.html]
<<''Hi Verjigorm, hab' nicht ganz verstanden, wie du das meinst. Meinst du mit optimale Normalverteilung eine schöne runde Gaußsche Glockenkurve? Der nähert man sich an, wenn man immer mehr Würfel im Becher hat. Was meinst du beim w4 und den Seiten 0,6/0,7...?'' -- [Sebastian]\\
\\
''Mh, bin eigentlich davon ausgegangen, dass ich mich verständlich ausgedrückt hatte... nunja.\\
Ich meinte damit die Glockenkurve, die ja als Ideal für die Würfe in Earthdawn gilt. Da ja das Problem besteht, dass die niedrigen Stufen rausfallen, weil man nur einen Würfel wirft und damit eine Gleichverteilung besteht, habe ich mir halt mal Gedanken über Alternativen gemacht.\\
Die perfekte Lösung wären vierseitige Würfel mit den Werten 0,6/0,7/0,8/0,9. Durch die unbgrenzte Würfelexplosion bei ED konvergiert der Erwartungswert gegen 0,999999... Nimmt man also für jede Stufe einen solchen Würfel hat man schon bei Stufe 2 eine Glockenkurve (wenn auch keine besonders schöne). Das ganze hat natürlich den Nachteil, dass man nicht mehr mit ganzzahligen Zahlen addieren kann. Deswegen schwebte mir die Lösung für einen Würfelgenerator vor: Der kann automatisch addieren und je höher die Stufe, desto idealer die Glockenkurve. Dummerweise hab ich trotz intensiver Suche keinen Würfelgenerator gefunden, der es erlauben würde, vom Konzept der ganzzahligen Würfelseiten abzuweichen.\\
Alternativ könnte man auch einfach 2W4 oder 3W4 abzüglich des entsprechenden Wertes nehmen, um die niedrigen Stufen auszuwürfeln.\\
Ich hoffe ich konnte mich erklären :)\\
-- [THEINFERNALVerjigorm]\\
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''Sehr schräger Ansatz, nimm lieber gleich einen fertigen Gaußverteilungs-Zufallsgenerator ([http://www.javamex.com/tutorials/random_numbers/gaussian_distribution_2.shtml]). Und klar, wenn man viele kleinere Würfel nimmt, dann hat man eher eine Normalverteilung. Wenn du aber nur kleine Würfel nimmst, kriegst du die irgendwann nicht mehr in den Becher. Auch kann man W6 nicht gut durch 2W4 annähern. Alternativ hätte man die Stufen bei ED bei höheren Werten starten lassen können.'' -- [Sebastian]\\
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''Sowas passiert, wenn man Langeweile hat ^^ 2W4 sind wirklich schlecht, weil der Erwartungswurf bei 6,6666... liegt, aber 3W4 hat einen Erwartungswert von praktisch 10 und ließe sich einfach durch einen ganzzahligen Modifikator modifizieren. Und drei Würfel sind eine gute Grundlage für eine Glockenkurve... Außerdem gings ja nie darum beispielsweise 20 schräge (im Sinne der Augenzahl) W4 in einen Würfelbecher zu bekommen :p''\\
-- [THEINFERNALVerjigorm]\\